Miracle combinatoire

Encore une note de matheux qui a trop de temps libre. Pas grand chose à voir avec le Japon. Vous pouvez passer votre chemin si vous voulez. 

A la gare de Saijou il y a un petit objet en bois à d'apparence anodine qui indique la date :

On ne le voit pas forcément mais les pièces sur lesquelles sont inscrits les chiffres sont des petits cubes de bois (le dernier indique le jour de la semaine, le samedi et le dimanche étant regroupés sur une seule face qui est justement celle que l'on voit).

En allant à Hiroshima avant-hier, je suis rapidement passé devant et instinctivement je me suis demandé s'il était nécessaire d'avoir des cubes cachés en réserve ou si l'on pouvait écrire toutes les dates possibles avec simplement ces 4 cubes (oublions les jours de la semaine). Je n'y ai pas plus réfléchi sur le coup, et j'ai donc pris mon train sans me tracasser, mais la question était toujours sur la pile de questions qui ressortent quand j'ai du temps libre.

Du coup au déjeuner, c'est tout de suite remonté... Et après quelques minutes de réflexion, toute la merveille de cet objet m'est apparue ! La réponse à ma question est non, il n'y a pas besoin d'utiliser d'autres cubes, mais ça se joue à trois fois rien (d'où le caractère exceptionnel de la chose).

C'est vraiment élégant (je trouve) et en plus de l'idée purement combinatoire de la chose, il y a une petite astuce supplémentaire sans laquelle ça ne marcherait pas. Je conseille à ceux qui trouvent la question amusante d'y réfléchir par eux-mêmes et donc de ne pas lire la fin du texte tout de suite. Pour les autres, ben... disons que comme je ne vais parler que de ça si ça ne vous intéresse pas vous pouvez attendre la note suivante :)

 

Il est clair que le problème n'est que dans les jours puisque si l'on arrive à afficher tous les nombres de 01 à 31 avec les deux cubes de gauche, on arrivera bien à afficher les entiers de 01 à 12 avec les deux de droite. Oui, mais comment affiche-t-on tous les entiers de 01 à 31 avec deux cubes sur lesquels n'est inscrit qu'un chiffre par face ?

Si l'on réfléchit un peu on se rend compte qu'il y a des chiffres qui vont nécessairement apparaître sur les deux cubes. Ce sont le "0", le "1" et le "2". Le "1" et le "2" évidemment puisqu'on doit pouvoir faire "11" et "22" et le "0" parce qu'il doit pouvoir être associé à 9 valeurs différentes, donc plus que ce que l'on pourra afficher sur les 6 faces d'un dé.

On a donc deux dés avec déjà 3 faces occupées sur chacun. Il reste donc 6 faces à afficher. SI l'on arrivait à tout mettre ça serait bon puisqu'aucun des nombres que l'on veut afficher ne fait intervenir deux des chiffres restants en même temps... oui, mais il y a 7 chiffres restants !

Mine de rien, ça m'a un peu bloqué cette histoire. Et tout d'un coup ça m'est venu. Bien sûr que c'est évident. On l'a tellement vu dans tous les films... Souvenez-vous de La grande vadrouille ou de Memento qui sont les premiers qui me viennent à l'esprit mais absolument pas les seuls. On pourrait aussi évoquer la signification toute connotée d'un certain nombre qui se trouve être le numéro du département que je quitte, qui est basée sur cette même idée.

Au fond, qui a besoin d'un "9" quand on a un "6" ?

Et là tout se débloque, et le prodige de l'objet apparaît : il suffit d'avoir un dé "012345" et un dé "012678" pour écrire tous les nombres, de 01 jusqu'à 32 ! N'est-ce pas quand même merveilleux d'avoir remarqué ça et d'avoir pensé à l'appliquer sur un calendrier ?

Oui, j'avoue que ce serait encore plus merveilleux si on avait un mois de 32 jours, mais bon, quand même. Moi j'ai fini par me dire que ce serait possible parce que j'avais vu l'objet tout fait, mais avouez qu'il fallait être subtil pour y penser sans indication !

 

J'avoue qu'à un moment j'ai poussé la chose un peu plus loin. Je n'avais pas vu en passant que le samedi et le dimanche étaient sur la même face, et je me suis demandé si l'on ne pouvait pas utiliser la marge sur les mois (après tout pour les mois on ne va que jusqu'à 12, alors qu'on peut aller jusqu'à 32 avec deux dés, il doit y avoir de la sous-exploitation) pour caser le jour en trop (dimanche) sur une face d'un des dés du mois, et donc si l'on ne pouvait pas afficher les 12 mois et les 7 jours de la semaine avec 3 dés.

Finalement la réponse est non (on n'a quand même pas beaucoup de marge, et le fait que tous les jours puissent apparaître à tous les mois fait que c'est beaucoup trop). C'est dommage, j'aurais bien aimé un second miracle sur les dés restants :)

 

Ah, et en rentrant j'ai quand même regardé les dés qu'ils utilisaient dans leur petit joujou, et c'est bien "012345" et "012678".